Racionalização de Raiz

– O que significa?

Como o próprio nome indica, racionalizar o denominador de uma fração, significa escreve-la
de uma forma equivalente, mantendo o seu valor inicial, sem que ela contenha, entretanto,  um número irracional no denominador. É importante ressaltar, que a racionalização do denominador de uma fração, não a torna racional  mas, apenas,  elimina o termo irracional do seu denominador, o que de uma certa forma facilita os cálculos necessários à análise de um determinado problema.

Apenas de passagem, lembramos que os números irracionais são todas as dízimas não periódicas ou as raízes não exatas de números reais.

Podemos citar como exemplos de números irracionais:

A = 1,01001000100001... (dízima não periódica)
B = 0,123567012432756284... (dízima não periódica)
C = p = 3,14159... (dízima não periódica)
D = Ö2 = 1,414... (raiz não exata e também uma dízima não periódica)
E = Ö3 = 1,732... (raiz não exata e também uma dízima não periódica)
F = 2Ö3 (raiz não exata e também uma dízima não periódica) etc

Observe que números como 0,34343434... , 0,2222222..., 3,1717171717... etc, por serem dízimas periódicas, não são números irracionais e sim, números racionais.

É importante ressaltar uma questão importante:

Um  número racional pode sempre  ser escrito como uma fração da forma a/b com a e b sendo números inteiros, com b diferente de zero e os números irracionais não podem ser escritos na
forma de  fração a/b.

Por exemplo, 0,333333... que é uma dízima periódica, pode ser escrito como 1/3 pois 1/3 = 0,3333... e, portanto, é um número racional.

Outros exemplos de dízimas periódicas ou seja, números racionais:

0,21212121... = 21/99
0,342342342... = 342/999
0,888888... = 8/9 etc

Já o número  Ö2, por exemplo,  que é uma raiz não exata, nunca poderá ser escrito como uma fração do tipo a/b com a e b sendo números inteiros, com b diferente de zero.

Voltemos então à questão da racionalização de denominadores.

2 – Racionalização de denominadores

Como regra geral, para racionalizar o denominador de uma fração, basta multiplicar o numerador e denominador desta, por um termo conveniente denominado Fator Racionalizante.

Saber escolher o fator racionalizante corretamente caracteriza-se como a parte mais importante da solução do problema. Vejamos alguns exemplos elucidativos:
a)
 
Observe que o fator racionalizante no caso acima foi Ö2.
b)


c)


Agora racionalize a seguinte fração:



Resposta:


Agora resolva o seguinte desafio:

Racionalize a fração: